Sfēra

Sfēra

Sfēra ir visu to telpas punktu kopa, kuri atrodas vienā un tajā pašā attālumā no kāda fiksēta punkta. Šo attālumu sauc par sfēras rādiusu, bet fiksēto punktu — par sfēras centru. Sfēra nesatur tos punktus, kas atrodas tās iekšpusē, tāpēc nav jēgas runāt par “sfēras tilpumu”. Sfērai nav tilpuma, jo sfēra ir divdimensionāla virsma, kas atrodas trīs dimensiju telpā.

Ikdienā vārdus “sfēra”, “lode” un “bumba” lieto kā sinonīmus, lai apzīmētu apaļu priekšmetu. Taču matemātikā “sfēra” un “lode” ir formāli jēdzieni, kas apzīmē dažādas lietas.

Sfēra ir lodes virsma, lode satur arī tos punktus, kas atrodas tās iekšpusē, tāpēc var runāt par lodes tilpumu. Tādēļ lode, atšķirībā no sfēras, ir trīsdimensionāls objekts.

Lai iegaumētu šo atšķirību, visvienkāršāk ir atcerēties, ka sfēra ir lodes virsma. Var arī izmantot mnemoniku lielgabala lode un debesu sfēra.

Sfēras vienādojums

Dekarta koordinātu sistēmā

Dekarta koordinātu sistēmā sfēru, kas ir lodes virsma, apraksta vienādojums

$\,(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2},$

kur x₀, y₀, z₀ ir sfēras centra koordinātas un r > 0 ir tās rādiuss. Sfēru ar rādiusu 1 sauc par vienības sfēru. Bieži vien papildus pieņem, ka tās centrs atrodas koordinātu sākumpunktā (x₀ = y₀ = z₀ = 0).

Jebkuri četri punkti, kas neatrodas vienā plaknē, viennozīmīgi nosaka sfēru. Ja šo punktu koordinātas ir (x_i, y_i, z_i), 1 ≤ i ≤ 4, tad caur tiem novilktās sfēras vienādojumu var atrast ar šāda determinanta palīdzību:

${\begin{vmatrix}x^{2}+y^{2}+z^{2}&x&y&z&1\\[4pt]x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&z_{1}&1\\[6pt]x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&z_{2}&1\\[6pt]x_{3}^{2}+y_{3}^{2}+z_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&z_{3}&1\\[6pt]x_{4}^{2}+y_{4}^{2}+z_{4}^{2}&x_{4}&y_{4}&z_{4}&1\end{vmatrix}}=0.$

Sfēriskajā koordinātu sistēmā

Sfēriskajā koordinātu sistēmā lodes virsmu apraksta vienādojumi

$\,x=x_{0}+r\sin \theta \,\cos \varphi ,$

$\,y=y_{0}+r\sin \theta \,\sin \varphi ,$

$\,z=z_{0}+r\cos \theta ,$

kur parametri θ un φ atbilst attiecīgi platuma un garuma grādiem un tie apmierina nevienādības

$\,0\leq \theta \leq \pi$ un $0\leq \varphi <2\pi$,

kur $\pi \,$ = 180°.

Sfēras laukums un lodes tilpums

Virsmas laukuma elements

Lai atrastu izteiksmi sfēras virsmas laukuma elementam, ir jāizrēķina determinants no Jakobi matricas:

${\begin{vmatrix}{\frac {\partial x}{\partial r}}&{\frac {\partial x}{\partial \theta }}&{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[3pt]{\frac {\partial y}{\partial r}}&{\frac {\partial y}{\partial \theta }}&{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\\[3pt]{\frac {\partial z}{\partial r}}&{\frac {\partial z}{\partial \theta }}&{\frac {\partial z}{\partial \varphi }}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\sin \theta \,\cos \varphi &r\cos \theta \,\cos \varphi &-r\sin \theta \,\sin \varphi \\\sin \theta \,\sin \varphi &r\cos \theta \,\sin \varphi &r\sin \theta \,\cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{vmatrix}}=r^{2}\sin \theta .$

Tātad sfēras virsmas laukuma elements sfēriskajās koordinātēs ir

$dS=r^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi .$

Virsmas laukums

Virsmas laukumu sfērai ar rādiusu r var atrast ar integrāļa palīdzību:

$S=\int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }r^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi =4\pi r^{2}.$

Lodes tilpums

Tilpums lodei ar rādiusu r ir

$V=\int _{0}^{r}4\pi r^{2}dr={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.$

Sfēriskā ģeometrija

Sfēriskā ģeometrija ir ģeometrija uz sfēras virsmas. Galvenie jēdzieni sfēriskajā ģeometrijā ir lielais riņķis, lielā riņķa loks, sfēriskais trīsstūris un antipodālu punktu pāris.

Sfēras vispārinājums n dimensijās

Sfēru n > 3 dimensijās sauc arī par hipersfēru. Tāpat kā trīs dimensijās, arī n dimensijās (jebkuram n ≥ 1) sfēra ir visu to punktu kopa, kas atrodas vienā un tajā pašā attālumā no sfēras centra.

Skatīt arī

• Sfēriskā ģeometrija
• Hipersfēra
• Lode
• Banaha-Tarska paradokss
• Smeila paradokss
• Puankarē hipotēze
• Aleksandra "ragainā sfēra"

Ārējās saites

• Veidne:MathWorld
• Sphere, PlanetMath.
• Veidne:MathWorld

Video:

• Veidne:Cite video Datoranimācija, kurā tiek izskaidrots, kā sfēras iekšpusi var “izgriezt uz āru”.
• The Alexander Sphere, YouTube.