Apskatīt Sinuss izejas kodu

[[Attēls:Sine triangle circle.svg|right|thumb|240px|Ja vienības riņķī ievelk leņķi, kura lielums ir α, tad atbilstošās pretkatetes garums ir sin α.]]

Par [[leņķis|leņķa]] '''sinusu''' sauc uz tā balstīta [[taisnleņķa trijstūris|taisnleņķa trijstūra]] [[katete|pretkatetes]] un [[hipotenūza]]s garumu [[attiecība|attiecību]]. To var simboliski pierakstīt šādi:
:<math> \sin \alpha = \frac{\text{pretkatete}}{\text{hipoten}\bar{\text{u}}\text{za}}, \,</math>
kur "sin α" apzīmē sinusu no leņķa α un "pretkatete" un "hipotenūza" apzīmē attiecīgi pretkatetes (leņķim pretējas katetes) un hipotenūzas garumus. Šādā veidā sinusu var definēt [[šaurs leņķis|šauriem leņķiem]]. Savukārt, izmantojot [[trigonometrija|trigonometrisko riņķi]], sinusu var definēt jebkuram leņķim.

Sinusa funkcija ir [[periodiska funkcija]] ar [[periods|periodu]] 2π.

Funkcijas nosaukuma pirmsākumi meklējami [[Indija|indiešu]] matemātiķa un astronoma [[Ārjabhata]]s darbos, kur tā saukta ''ardha-jya'' (tulkojumā - 'puse no hordas'), kas ērtības labad saīsināta par ''jya''. Tulkojot Ārjabhatas darbus [[arābu valoda|arābu valodā]], saīsinājums tika pārnests ar līdzkaņu burtiem ''jb'' (arābu rakstībā īsos patskaņu neraksta, "b" rakstībā līdzīgs "y") un izrunāja ar vārdu ''jiba'', kam valodā nav nozīmes. 12. gadsimtā, kad [[Gerardo no Kremonas]] tulkoja šos darbus [[latīņu valoda|latīņu valodā]], viņš pieņēma, ka ''jb'' lasāms kā ''jiab'' ('līcis', 'ieloks') un pārcēla ar tā latīnisko analogu ar tādu pat nozīmi ''sinus''.<ref>{{Grāmatas atsauce
 | author = Howard Eves
 | title = An Introduction to the History of Mathematics
 | publisher = Saunders College Publishing House, New York
 | year = 1990
 | edition = 6
 | page= 237
}}</ref>

== Sinusa vērtības ==

{| class="wikitable" style="text-align: center; float: right"
|-
! style="text-align: left" | Leņķis [[leņķa grāds|grādos]]
| width="30px" | 0°
| width="30px" | 30°
| width="30px" | 45°
| width="30px" | 60°
| width="30px" | 90°
|-
! style="text-align: left" | Leņķis [[radiāns|radiānos]]
| 0 || π/6 || π/4 || π/3 || π/2
|-
! style="text-align: left" | Sinusa vērtība
| <math>0\,</math>
| <math>\frac{1}{2}</math>
| <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math>
| <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>
| <math>1\,</math>
|}

Visbiežāk nepieciešamās sinusa vērtības ir dotas tabulā pa labi. Lai tās vieglāk iegaumētu, ir jāatceras zīmīgie leņķi 0°, 30°, 45°, 60° un 90° (jeb 0, π/6, π/4, π/3 un π/2 radiānos). Var ievērot, ka tiem atbilstošās sinusa vērtības ir šādas:
:<math>
  \frac{\sqrt{0}}{2}, \quad
  \frac{\sqrt{1}}{2}, \quad
  \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad
  \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad
  \frac{\sqrt{4}}{2}.
</math>
Leņķiem, kas neatrodas intervālā no 0° līdz 90°, sinusa vērtību var aprēķināt, izmantojot zemāk uzskaitītās sinusa funkcijas īpašības.

== Sinusa funkcijas īpašības ==

[[Attēls:Sine.svg|right|thumb|500px|Sinusa funkcijas grafiks.]]

Sinusa funkcijai piemīt vairākas būtiskas īpašības, kas ir uzskaitītas zemāk dotajā tabulā. Tās ir viegli nolasāmas no funkcijas grafika.
{| class="wikitable"
! Matemātiskais pieraksts
! Īpašības nosaukums
|-
| <math> -1 \leq \sin x \leq 1    \,</math> || ierobežota
|-
| <math> \sin(-x) = -\sin x       \,</math> || nepāra
|-
| <math> \sin(x + 2 \pi) = \sin x \,</math> || periodiska
|-
| <math> \sin(x + \pi) = -\sin x  \,</math> || maina zīmi, ja leņķi palielina par π
|}
No šīm īpašībām izriet sakarība
:<math> \sin(x + \pi k) = (-1)^k \sin x, \,</math>
kur ''k'' ir patvaļīgs [[vesels skaitlis]]. Ar tās palīdzību sinusa aprēķināšanu patvaļīgam leņķim var reducēt uz sinusa aprēķināšanu leņķim, kas atrodas intervālā [0°, 90°] (jeb [0,π/2] radiānos).

== Sakarības ==

Jebkuriem diviem reāliem skaitļiem α un β ir spēkā:
:<math> \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \, \cos \beta + \cos \alpha \, \sin \beta, </math>
:<math> \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \, \cos \beta - \cos \alpha \, \sin \beta, </math>
:<math> \sin(2\alpha) = 2 \, \sin \alpha \, \cos \alpha. </math>

== Teilora rinda, atvasinājums un integrālis ==

Sinusa izvirzījums [[Teilora rinda|Teilora rindā]] ir
:<math>
  \sin x
  = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
  = \frac{x}{1!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} \mp \cdots.
</math>
Tā [[atvasinājums]] ir
:<math> (\sin x)' = \cos x, \,</math>
bet [[nenoteiktais integrālis]] ir
:<math> \int \sin x \, {\rm d} x = -\cos x + C. </math>

== Skatīt arī ==

* [[Trigonometriskās funkcijas]]
* [[Kosinuss]]
* [[Tangenss]]
* [[Kotangenss]]

== Atsauces ==
{{atsauces}}

== Ārējās saites ==

* Eric W. Weisstein, [https://web.archive.org/web/20100304140415/http://mathworld.wolfram.com/Sine.html Sine], MathWorld.

[[Kategorija:Trigonometrija]]

[[no:Trigonometriske funksjoner#Sinus, cosinus og tangens]]