Apskatīt Hipersfēra izejas kodu

[[Sfēra]]s vispārinājumu ''n'' > 3 dimensijās sauc par '''hipersfēru''', taču bieži vien to sauc arī vienkārši par '''sfēru'''. Tāpat kā trīs dimensijās, arī ''n'' dimensijās (jebkuram ''n'' ≥ 1) sfēra ir visu to [[punkts (ģeometrija)|punktu]] [[kopa]], kas atrodas vienā un tajā pašā attālumā no sfēras centra. Šo attālumu sauc par sfēras [[rādiuss|rādiusu]] un parasti apzīmē ar ''r''.

== Hipersfēras vienādojums ==

=== Dekarta koordinātu sistēmā ===

[[Dekarta koordinātu sistēma|Dekarta koordinātu sistēmā]] sfēra ar centru (''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, …, ''a''<sub>''n''</sub>) un rādiusu ''r'' > 0 sastāv no punktiem ar koordinātēm (''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, …, ''x''<sub>''n''</sub>), kas apmierina vienādojumu
:<math>\, \sum_{i=1}^n (x_i - a_i)^2 = r^2. </math>

=== Hipersfēriskajā koordinātu sistēmā ===

[[Sfēriskā koordinātu sistēma|Sfēriskās koordinātu sistēmas]] vispārinājums ir hipersfēriskā koordinātu sistēma. Tajā sfēru apraksta vienādojumi
:<math>
\begin{align}
  x_1 = a_1 &+ r \cos \alpha_1, \\
  x_2 = a_2 &+ r \sin \alpha_1 \, \cos \alpha_2, \\
  x_3 = a_3 &+ r \sin \alpha_1 \, \sin \alpha_2 \, \cos \alpha_3, \\
  & {}\,\,\, \vdots \\
  x_{n-1} = a_{n-1}
    &+ r \sin \alpha_1 \, \sin \alpha_2 \, \sin \alpha_3 \, \cdots \, \sin \alpha_{n-2} \, \cos \alpha_{n-1}, \\
  x_n \,\,\,\,\,\, = a_n \,\,\,\,\,
    &+ r \sin \alpha_1 \, \sin \alpha_2 \, \sin \alpha_3 \, \cdots \, \sin \alpha_{n-2} \, \sin \alpha_{n-1},
\end{align}
</math>
kur parametri <math>\alpha_i\,</math> apmierina nevienādības
:<math>
  0 \leq \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n-2} \leq \pi </math> un <math>
  0 \leq \alpha_{n-1} < 2 \pi.
</math>

== Hipersfēras laukums un lodes tilpums ==

=== Virsmas laukuma elements ===

Virsmas laukuma elements sfērai ar rādiusu ''r'' hipersfēriskajā koordinātu sistēmā ''n'' dimensijās ir
:<math>
\begin{align}
  dS &= \begin{vmatrix}
          \frac{\partial x_1}{\partial r} & \frac{\partial x_1}{\partial \alpha_1} & \cdots & \frac{\partial x_1}{\partial \alpha_{n-1}} \\[3pt]
          \frac{\partial x_2}{\partial r} & \frac{\partial x_2}{\partial \alpha_1} & \cdots & \frac{\partial x_2}{\partial \alpha_{n-1}} \\[3pt]
          \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[3pt]
          \frac{\partial x_n}{\partial r} & \frac{\partial x_n}{\partial \alpha_1} & \cdots & \frac{\partial x_n}{\partial \alpha_{n-1}}
        \end{vmatrix} \, d\alpha_1 \, d\alpha_2 \, \cdots \, d\alpha_{n-1} \\
     &= r^{n-1} \left( \prod_{i=1}^{n-2} \sin^{n-1-i} \alpha_i \, d\alpha_i \right) d\alpha_{n-1} \\
     &= r^{n-1} \sin^{n-2} \alpha_1 \, \sin^{n-3} \alpha_2 \, \cdots \, \sin \alpha_{n-2} \,
       d\alpha_1 \, d\alpha_2 \, \cdots \, d\alpha_{n-1}.
\end{align}
</math>

=== Virsmas laukums ===

Virsmas laukumu sfērai ''n'' dimensijās var atrast ar [[integrālis|integrāļa]] palīdzību:
:<math>
  S = \underbrace{\int_{\alpha_1=0}^\pi \int_{\alpha_2=0}^\pi \cdots \int_{\alpha_{n-2}=0}^\pi}_{n-2} \int_{\alpha_{n-1}=0}^{2\pi} dS.
</math>
Integrējot iegūst
:<math>
  S = \frac{2 \pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2})} \, r^{n-1}.
</math>
Daudz vienkāršāk šo formulu ir iegūt pa tiešo (bez virsmas laukuma elementa atrašanas).

<div class="NavFrame" style="width:70%; clear:both">
<div class="NavHead">Formulas izvedums<ref>{{citation | first = H.S.M. | last = Coxeter | title = Regular polytopes | publisher = Dover Publications | edition = 3 | year = 1973 | isbn = 978-0-48-661480-9}}, §7.3. The general sphere, [http://books.google.com/books?id=iWvXsVInpgMC&pg=PA125 125. lpp.]</ref></div>
<div class="NavContent" style="text-align:left">
Ieviesīsim funkciju
:<math> f(x_1, \dots, x_n) = e^{-(x_1^2 + \cdots + x_n^2)} </math>
un ar ''A'' apzīmēsim vērtību integrālim, ko iegūst integrējot ''f'' no ''-∞'' līdz ''+∞'' visās ''n'' dimensijās:
:<math>
  A = \underbrace{\int_{-\infty}^{+\infty} \cdots \int_{-\infty}^{+\infty}}_n
       e^{-(x_1^2+\cdots+x_n^2)} dx_1 \cdots dx_n
    = \left( \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx \right)^n.
</math>
Funkcijas ''f'' vērtība ir atkarīga tikai no vektora (''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, …, ''x''<sub>''n''</sub>) garuma ''r'', tāpēc tā ir [[konstants lielums|konstanta]] uz jebkuras sfēras, kas novietota koordinātu sākumpunktā. Ja sfēras rādiuss ir ''r'', tad funkcija ''f'' pieņem vērtību exp(−''r''<sup>2</sup>) uz tās virsmas. Ievērosim, ka ''n'' dimensijās sfērai ar rādiusu ''r'' virsmas laukums ''S'' ir proporcionāls vienības sfēras laukumam ''s'' jeb ''S'' = ''sr''<sup>''n''−1</sup>. Tātad tilpuma elements ir ''dV'' = ''sr''<sup>''n''−1</sup>''dr''. Tas nozīmē, ka lielumu ''A'' var aprēķināt arī šādi:
:<math>
  A = \int_0^\infty e^{-r^2} s r^{n-1} dr.
</math>

Izteiksim šos integrāļus izmantojot [[Gamma funkcija|Gamma funkciju]]. Gamma funkciju no ''z'' > 0 definē ar integrāļa palīdzību:
:<math>
  \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} dt = 2 \int_0^\infty r^{2z-1} e^{-r^2} dr,
</math>
kur otrā izteiksme ir iegūta ar [[substitūcija|substitūciju]] ''t'' = ''r''<sup>2</sup>. Ievērosim, ka
:<math>
  \Gamma\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr) = 2 \int_0^\infty e^{-r^2} dr = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx.
</math>
Tātad pirmajā gadījumā lielumu ''A'' var izteikt pavisam vienkāršā veidā:
:<math>
  A = \bigl( \Gamma\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr) \bigr)^n
    = \bigl( \sqrt{\pi} \bigr)^n.
</math>
Otrajā gadījumā lielumu ''A'' var izteikt šādi:
:<math>
  A = \frac{s}{2} \, \Gamma\bigl(\tfrac{n}{2}\bigr).
</math>
Pielīdzinot abas izteiksmes atrodam vienības sfēras laukumu ''s'':
:<math>
  s = \frac{2 \pi^{n/2}}{\Gamma\bigl(\tfrac{n}{2}\bigr)}.
</math>
Tātad laukums sfērai ar rādiusu ''r'' ir
:<math>
  S = \frac{2 \pi^{n/2}}{\Gamma\bigl(\frac{n}{2}\bigr)} \, r^{n-1}.
</math>
</div>
</div>

{| class="wikitable" style="text-align:right; float:right"
|+ Laukums un tilpums lodei ''n'' dimensijās
! ''n'' || ''S'' || ''V''
|-
! 1
| <math> 2 \,</math> || <math> 2 r \,</math>
|-
! 2
| <math> 2 \pi r \,</math> || <math> \pi r^2 \,</math>
|-
! 3
| <math> 4 \pi r^2 \,</math> || <math> \frac{4}{3} \pi r^3 \,</math>
|-
! 4
| <math> 2 \pi^2 r^3 \,</math> || <math> \frac{1}{2} \pi^2 r^4 \,</math>
|-
! 5
| <math> \frac{8}{3} \pi^2 r^4 \,</math> || <math> \frac{8}{15} \pi^2 r^5 \,</math>
|-
! 6
| <math> \pi^3 r^5 \,</math> || <math> \frac{1}{6} \pi^3 r^6 \,</math>
|-
! 7
| <math> \frac{16}{15} \pi^3 r^6 \,</math> || <math> \frac{16}{105} \pi^3 r^7 \,</math>
|-
! 8
| <math> \frac{1}{3} \pi^4 r^7 \,</math> || <math> \frac{1}{24} \pi^4 r^8 \,</math>
|-
! 9
| <math> \frac{32}{105} \pi^4 r^8 \,</math> || <math> \frac{32}{945} \pi^4 r^9 \,</math>
|}

=== Lodes tilpums ===

Tilpumu ''n''-dimensionālai [[lode]]i ar rādiusu ''r'' atrod integrējot:
:<math>
  V = \int_0^r S \, dr = \frac{r S}{n}.
</math>
Izmantojot Gamma funkcijas īpašību <math>\tfrac{n}{2} \Gamma(\tfrac{n}{2}) = \Gamma(\tfrac{n}{2} + 1)</math>, iegūst
:<math>
  V = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)} \, r^n.
</math>

=== Izteiksmes bez Gamma funkcijas ===

[[Vesels skaitlis|Veseliem]] un [[pusvesels skaitlis|pusveseliem]] argumentiem Gamma funkciju var izteikt attiecīgi ar [[faktoriāls|faktoriāla]] un [[dubultfaktoriāls|dubultfaktoriāla]] palīdzību. Tad laukuma ''S'' izteiksmi var pārrakstīt šādi:<ref name="cs">Skatīt [[:cs:Hyperkoule|Hyperkoule]] čehu Vikipēdijā.</ref><ref>Eric W. Weisstein, [http://mathworld.wolfram.com/Hypersphere.html Hypersphere], MathWorld.</ref>
:<math>
  S =
  \begin{cases}
    \dfrac{2\pi^\frac{n}{2}}{\bigl(\frac{n}{2}-1\bigr)!} \, r^{n-1} & n \mbox{ pāra}, \\[3ex]
    \dfrac{2^\frac{n+1}{2}\pi^\frac{n-1}{2}}{(n-2)!!}    \, r^{n-1} & n \mbox{ nepāra},
  \end{cases}
</math>
bet tilpuma ''V'' izteiksmi var pārrakstīt šādi:<ref name="cs"/><ref>Skatīt [[:pl:Hiperkula|Hiperkula]] poļu Vikipēdijā.</ref>
:<math>
  V =
  \begin{cases}
    \dfrac{\pi^\frac{n}{2}}{\bigl(\frac{n}{2}\bigr)!} \, r^n & n \mbox{ pāra}, \\[3ex]
    \dfrac{2^\frac{n+1}{2} \pi^\frac{n-1}{2}}{n!!}    \, r^n & n \mbox{ nepāra}.
  \end{cases}
</math>

== Hipersfēra un lode mazās dimensijās ==

# nogrieznis, divi punkti
# riņķis, riņķa līnija
# lode, sfēra

== Skatīt arī ==

* [[Riņķa līnija]]
* [[Sfēra]]

== Atsauces ==

{{atsauces}}

== Ārējās saites ==

* Eric W. Weisstein, [http://mathworld.wolfram.com/Hypersphere.html Hypersphere], MathWorld.
* Howard Haber, [https://web.archive.org/web/20060531033505/http://scipp.ucsc.edu/~haber/ph116A/volume.pdf The volume and surface area of an ''n''-dimensional hypersphere], lekcijas konspekts.
* Al Lehnen, [https://web.archive.org/web/20110719232904/http://faculty.matcmadison.edu/alehnen/sphere/Apendxa/Appendixa.htm Properties of Spherical Coordinates in ''n'' Dimensions].

[[Kategorija:Ģeometrija]]
[[Kategorija:Raksti, kas satur pierādījumus]]